Tiếp nối tư duy "thám tử" của nguyên lý cực hạn, dưới đây là 2 bài toán đỉnh cao kết hợp giữa cấu hình học phẳng và số học.
Đặc biệt, Bài toán 1 dưới đây là một bài toán hình học tổ hợp cực kỳ nổi tiếng (Định lý Sylvester-Gallai), rất hay xuất hiện trong các bộ tài liệu ôn thi chuyên dưới nhiều hình thức biến tấu khác nhau.
Đề bài: Cho một tập hợp hữu hạn $n$ điểm ($n \ge 3$) trên mặt phẳng sao cho một đường thẳng bất kỳ đi qua 2 điểm trong tập hợp đều đi qua ít nhất một điểm thứ ba của tập hợp đó. Chứng minh rằng tất cả $n$ điểm này phải cùng nằm trên một đường thẳng (thẳng hàng).
Bài toán yêu cầu chứng minh tất cả các điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Ta sẽ dùng phương pháp Phản chứng: Giả sử có những điểm nằm ngoài đường thẳng.
Khi có điểm nằm ngoài đường thẳng, ta sẽ có khái niệm "Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng".
Anh hỏi con: "Trong tất cả các khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (tạo bởi các điểm trong tập hợp), khoảng cách nào là đặc biệt nhất?" $\rightarrow$ Câu trả lời: Khoảng cách nhỏ nhất (nhưng phải lớn hơn 0)!
Bước 1: Giả sử phản chứng và chọn phần tử cực hạn.
Giả sử $n$ điểm đã cho không thẳng hàng. Khi đó, sẽ có ít nhất một điểm nằm ngoài một đường thẳng đi qua hai điểm khác.
Xét tập hợp tất cả các cặp $(M, d)$, trong đó $d$ là đường thẳng đi qua ít nhất 2 điểm trong tập hợp, và $M$ là một điểm trong tập hợp không nằm trên $d$.
Vì số điểm là hữu hạn nên số cặp $(M, d)$ là hữu hạn. Do đó, khoảng cách từ $M$ đến $d$ luôn tồn tại một giá trị dương và nhỏ nhất. Giả sử cặp đạt khoảng cách nhỏ nhất này là $(A, \Delta)$.
Bước 2: Khai thác giả thiết đề bài.
Theo đề bài, trên đường thẳng $\Delta$ có ít nhất 3 điểm thuộc tập hợp ban đầu. Gọi 3 điểm đó là $B, C, D$.
Từ điểm $A$, ta hạ đường vuông góc $AH$ xuống đường thẳng $\Delta$ ($AH$ chính là khoảng cách nhỏ nhất ta vừa chọn).
Bước 3: Tạo ra điều mâu thuẫn để chốt hạ.
Xét đường thẳng $\Delta$, hình chiếu $H$ sẽ chia đường thẳng thành hai phía (hoặc trùng vào một điểm). Vì có ít nhất 3 điểm $B, C, D$ nằm trên $\Delta$, theo nguyên lý Dirichlet (vị trí tương đối), luôn có ít nhất 2 điểm nằm cùng một phía đối với $H$ (hoặc một điểm trùng $H$ và một điểm nằm một phía).
Giả sử hai điểm đó là $C$ và $D$ sao cho $C$ nằm giữa $H$ và $D$ (như hình vẽ).
Bây giờ, ta xét điểm $C$ và đường thẳng nối hai điểm $A$ and $D$ (đường thẳng $AD$).
Ta thấy tam giác $AHD$ vuông tại $H$, và $C$ nằm giữa $H$ và $D$. Từ $C$ ta hạ đường vuông góc $CK$ xuống $AD$.
Dễ dàng nhận thấy tam giác vuông $CKD$ đồng dạng với tam giác vuông $AHD$ (chung góc $D$).
Vì $C$ nằm giữa $H$ và $D$ nên đoạn $CD < HD$. Do đó, tỉ số đồng dạng cho ta:
Điều này nghĩa là: Khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $AD$ còn nhỏ hơn khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ ($AH$).
Vô lý! Vì ta đã chọn $AH$ là khoảng cách nhỏ nhất trong tất cả các cặp điểm và đường thẳng rồi.
Kết luận: Sự mâu thuẫn chứng tỏ giả sử phản chứng là sai. Vậy toàn bộ $n$ điểm phải thẳng hàng (Đpcm).
Đề bài: Trong một giải đấu bóng đá vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều đấu với nhau đúng một trận). Biết rằng không có trận nào hòa. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đội bóng $A$ sao cho mọi đội bóng khác trong giải đấu đều bị thua dưới tay đội $A$, hoặc bị thua dưới tay một đội $B$ nào đó mà đội $B$ này lại thua đội $A$.
(Nói ngắn gọn bằng ngôn ngữ đồ thị: Luôn tồn tại một đội có thể "thắng gián tiếp" tất cả các đội còn lại).
Trong một giải đấu, đại lượng cực hạn dễ chọn nhất chính là Số trận thắng. Ta sẽ lôi ngay đội có nhiều trận thắng nhất giải ra để mổ xẻ tính chất.
Bước 1: Chọn phần tử cực hạn.
Gọi $A$ là đội bóng có số trận thắng nhiều nhất trong giải đấu.
Gọi $V$ là tập hợp tất cả các đội bị đội $A$ đánh bại trực tiếp, và $U$ là tập hợp các đội đã thắng đội $A$.
Bước 2: Thiết lập phản chứng.
Để chứng minh đội $A$ thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần chứng minh tất cả các đội nằm trong tập $U$ (những đội từng thắng $A$) đều phải bị thua trước ít nhất một đội nào đó trong tập $V$.
Giả sử ngược lại, tồn tại một đội $X$ nằm trong tập $U$ (tức là $X$ thắng $A$) nhưng $X$ lại không thua bất kỳ đội nào trong tập $V$.
Vì không có trận hòa, điều này nghĩa là đội $X$ đã thắng tất cả các đội trong tập $V$.
Bước 3: Đếm số trận thắng để chỉ ra sự vô lý.
Bây giờ ta đếm số trận thắng của đội $X$:
$X$ thắng đội $A$ (vì $X \in U$): được 1 trận thắng.
$X$ thắng tất cả các đội trong tập $V$: được $\vert{}V\vert{}$ trận thắng.
$\implies$ Tổng số trận thắng của $X$ ít nhất là: $\vert{}V\vert{} + 1$ trận thắng.
Trong khi đó, số trận thắng của đội $A$ chính bằng số phần tử của tập $V$ (vì $V$ là tập các đội bị $A$ đánh bại), tức là $\vert{}V\vert{}$ trận thắng.
Như vậy, số trận thắng của $X$ ($\vert{}V\vert{} + 1$) lớn hơn số trận thắng của $A$ ($\vert{}V\vert{}$).
Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với giả định ban đầu: $A$ là đội có số trận thắng nhiều nhất giải!
Kết luận: Giả sử phản chứng sai. Do đó, đội $X$ bắt buộc phải thua ít nhất một đội trong tập $V$. Vậy đội $A$ chính là đội bóng thỏa mãn điều kiện đề bài (Đpcm).