Con hiểu được khái niệm "Đại lượng bất biến" (Một đặc điểm không bao giờ thay đổi sau mỗi bước biến đổi).
Con biết cách khai thác Tính chẵn lẻ và Số dư (Phép chia) để tìm ra đại lượng bất biến.
Con biết ứng dụng bất biến để giải quyết các bài toán trạng thái (Trò chơi, bảng số, biến đổi cấu hình).
Hãy lấy ví dụ về việc Đếm tiền để con hiểu ngay lập tức:
"Chúng ta có một xấp tiền gồm các tờ 10k và 20k. Bây giờ Chúng ta đem đổi các tờ 10k thành các tờ 20k, hoặc đổi ngược lại, hoặc xáo trộn vị trí của chúng. Sau rất nhiều lần đổi, có một thứ có thể thay đổi là số lượng tờ tiền, nhưng có một thứ không bao giờ thay đổi: đó là Tổng số tiền Chúng ta đang có. Tổng số tiền chính là một Đại lượng bất biến."
Trong toán học, khi người ta thực hiện một quy tắc biến đổi lặp đi lặp lại, con hãy đi tìm một đại lượng (Tổng, Hiệu, Tính chẵn lẻ, Số dư...) luôn giữ nguyên giá trị. Nếu trạng thái đề bài yêu cầu có đại lượng này khác với ban đầu $\rightarrow$ Trạng thái đó là Không thể.
Đề bài: Trên bảng viết các số từ 1 đến 20: $1, 2, 3, ..., 20$. Mỗi lần thực hiện, người ta xóa đi hai số $a$ và $b$ bất kỳ, rồi viết thay vào đó số $a + b - 1$. Quá trình này lặp lại cho đến khi trên bảng chỉ còn lại duy nhất một số. Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là số nào?
Mỗi lần xóa 2 số và viết lại 1 số $\rightarrow$ Tổng số lượng số trên bảng giảm đi 1. Ban đầu có 20 số, vậy sau 19 lần thực hiện sẽ còn đúng 1 số.
Con thử làm với bộ số nhỏ hơn (từ 1 đến 3) xem số cuối cùng ra bao nhiêu, để con tự phát hiện ra điều kỳ diệu: Dù chọn xóa cặp nào trước, kết quả cuối cùng vẫn giống nhau!
Bước 1: Tìm đại lượng bất biến.
Xét tổng của các số trên bảng trước và sau một bước biến đổi.
Giả sử trước khi biến đổi, tổng các số trên bảng là $S$.
Ta chọn xóa hai số $a$ và $b$. Tổng các số còn lại (chưa bị xóa) là $S - (a + b)$.
Ta viết thêm số $a + b - 1$ vào bảng. Tổng mới của các số trên bảng sẽ là:
Bước 2: Phát hiện quy luật bất biến.
À! Như vậy sau mỗi lần biến đổi, Tổng các số trên bảng luôn giảm đi đúng 1 đơn vị, bất kể $a$ và $b$ là hai số nào! Đây chính là đại lượng bất biến ta cần tìm.
Bước 3: Tính toán kết quả.
Tổng ban đầu của 20 số từ 1 đến 20 là:
Vì ban đầu có 20 số, để trên bảng còn lại duy nhất 1 số, ta phải thực hiện đúng: $20 - 1 = 19$ lần biến đổi.
Sau 19 lần biến đổi, tổng các số trên bảng sẽ giảm đi: $19 \times 1 = 19$ đơn vị.
Vì lúc này trên bảng chỉ còn đúng 1 số, nên giá trị của số cuối cùng chính bằng tổng mới của bảng:
Kết luận: Số cuối cùng còn lại chắc chắn là 191.
Đề bài: Trên bảng viết 2026 số 1. Mỗi lần thực hiện, người ta xóa đi hai số $a$ và $b$ bất kỳ, rồi viết thay vào đó số $\vert{}a - b\vert{}$. Hỏi sau một số lần biến đổi, số cuối cùng còn lại trên bảng có thể là số 0 được không?
Bài toán này dùng dấu giá trị tuyệt đối hiệu $\vert{}a-b\vert{}$. Tổng các số không còn giảm cố định nữa. Lúc này, ta phải xét đến Tính chẵn lẻ của tổng.
Anh hỏi con: Khi thay thế $a$ and $b$ bằng $\vert{}a-b\vert{}$, tính chẵn lẻ của tổng toàn bộ bảng biến động thế nào?
Bước 1: Xét tính chẵn lẻ (Đồng dư mod 2).
Xét hai số $a$ và $b$ bị xóa đi và số $\vert{}a - b\vert{}$ được viết thêm vào.
Ta có một tính chất số học rất quan trọng: Tổng và hiệu của hai số luôn có cùng tính chẵn lẻ.
Tức là: $(a + b)$ và $\vert{}a - b\vert{}$ luôn cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Do đó: $(a + b) \equiv \vert{}a - b\vert{} \pmod 2$.
Bước 2: Tìm đại lượng bất biến.
Khi ta xóa $a, b$ và thay bằng $\vert{}a-b\vert{}$, tổng của bảng thay đổi từ $S$ thành $S - (a + b) + \vert{}a - b\vert{}$.
Vì $(a + b)$ và $\vert{}a - b\vert{}$ cùng tính chẵn lẻ, nên lượng mất đi và thêm vào không làm thay đổi tính chẵn lẻ của tổng tổng thể.
$\implies$ Tính chẵn lẻ của tổng tất cả các số trên bảng là một Đại lượng bất biến!
Bước 3: Đối chiếu trạng thái đầu và cuối.
Tổng ban đầu của bảng là: $S_{đầu} = 2026 \times 1 = 2026$. Đây là một số chẵn.
Theo đại lượng bất biến, tổng của bảng tại mọi thời điểm (và cả số cuối cùng) bắt buộc phải là một số chẵn.
Đề bài hỏi số cuối cùng có thể là số 0 được không? Số 0 là một số chẵn. Về mặt tính chẵn lẻ thì hợp lệ.
Tuy nhiên, ta cần kiểm tra kỹ hơn: Mỗi bước xóa hai số chẵn/lẻ. Ban đầu toàn số 1 (số lẻ). Cứ mỗi lần xóa 2 số lẻ (1 và 1) ta được số 0 (số chẵn). Quá trình này luôn làm giảm số lượng số lẻ đi 2 số. Ban đầu có 2026 số lẻ, sau các bước số số lẻ giảm dần: $2024 \rightarrow 2022 \rightarrow ... \rightarrow 0$.
Khi số số lẻ về 0, trên bảng toàn số chẵn. Hiệu hai số chẵn lại là số chẵn. Do đó số cuối cùng hoàn toàn có thể là số 0.
Kết luận: Có thể được. (Nếu đề bài cho 2025 số 1 - tức là tổng lẻ, thì số cuối cùng không bao giờ là số 0 được).
Đề bài: Một bảng ô vuông kích thước $8 \times 8$ bị cắt mất 2 ô ở hai góc đối diện (như hình vẽ dưới, bảng chỉ còn 62 ô). Người ta có các quân domino kích thước $1 \times 2$ (mỗi quân phủ vừa vặn 2 ô vuông cạnh nhau). Hỏi có thể phủ kín bảng ô vuông đã bị cắt bằng 31 quân domino mà không các quân nào đè lên nhau hay thò ra ngoài không?
Bài toán này nếu con ngồi cố gắng xếp thử thì sẽ mất cả ngày và luôn bị thừa ra 2 ô không thẳng hàng. Để chứng minh "Không thể", hãy dùng Bất biến màu sắc.
Anh gợi ý con: "Con hãy tưởng tượng tô màu bảng này thành các ô đen trắng đan xen như bàn cờ vua."
Bước 1: Tô màu bàn cờ và tìm trạng thái ban đầu.
Tô màu bảng $8 \times 8$ bằng hai màu Đen và Trắng đan xen. Một bàn cờ chuẩn $8 \times 8$ sẽ có 32 ô đen và 32 ô trắng.
Hai ô ở hai góc đối diện của bàn cờ luôn luôn cùng màu (giả sử đều là màu Trắng).
Do đó, sau khi cắt mất 2 ô này, bảng còn lại:
Số ô Đen: 32 ô.
Số ô Trắng: $32 - 2 = 30$ ô.
Bước 2: Tìm tính chất bất biến của quân Domino.
Mỗi quân domino kích thước $1 \times 2$ khi đặt vào bảng, dù đặt dọc hay đặt ngang, luôn luôn phủ đúng 1 ô Đen và 1 ô Trắng.
Do đó, nếu ta đặt thành công $k$ quân domino lên bảng, thì tổng số ô bị phủ phải gồm có $k$ ô Đen và $k$ ô Trắng (số ô đen và trắng bị phủ luôn bằng nhau). Đây chính là tính bất biến!
Bước 3: Đối chiếu và chốt hạ.
Để phủ kín hoàn toàn bảng đã cắt, ta cần dùng 31 quân domino. Theo tính chất trên, 31 quân domino này bắt buộc phải phủ một vùng gồm 31 ô Đen và 31 ô Trắng.
Tuy nhiên, bảng của chúng ta lại có 32 ô Đen và 30 ô Trắng (số lượng không bằng nhau).
Sự lệch pha này cho thấy không bao giờ có thể xếp khớp được.
Kết luận: Không thể phủ kín bảng bằng các quân domino đã cho (Đpcm).
Phương pháp bất biến dạy cho con một tư duy rất sâu sắc: Đôi khi để giải quyết một vấn đề, ta không lao vào hành động một cách mù quáng (ngồi xếp domino, ngồi thử các phép trừ), mà ta đứng lùi lại, quan sát bản chất hệ thống để tìm ra cái "bất biến".
Bài toán Domino số 3 là một bài toán kinh điển tuyệt đẹp. Hãy vẽ hình ra giấy, tô màu xanh đỏ đan xen rồi đố con xem con có phát hiện ra bí mật của hai ô góc không nhé.