Đặt vấn đề: "Nếu hôm nay là Thứ Ba (ngày thứ 2 trong tuần), thì 7 ngày nữa là thứ mấy? 14 ngày nữa? 700 ngày nữa?"
$\rightarrow$ Tất cả đều là Thứ Ba, vì $7, 14, 700$ đều chia hết cho $7$!
Định nghĩa đơn giản: Hai số $a$ và $b$ được gọi là đồng dư với nhau theo mod $m$ (khi chia cho $m$ có cùng số dư).
Ký hiệu:
(Đọc là: $a$ đồng dư với $b$ theo modulo $m$, nghĩa là $(a - b)$ chia hết cho $m$)
Ví dụ trực quan:
$17 \equiv 2 \pmod{5}$ (vì $17$ chia $5$ dư $2$).
$22 \equiv 2 \pmod{5}$ (vì $22$ chia $5$ dư $2$).
Suy ra: $17 \equiv 22 \pmod{5}$.
Nếu $a \equiv b \pmod{m}$ và $c \equiv d \pmod{m}$, thì:
Cộng/Trừ: $a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m}$
Nhân: $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{m}$
Mũ hóa: $a^k \equiv b^k \pmod{m}$
💡 Mẹo dạy con: Thay vì tính số rất lớn rồi mới chia, ta chia lấy số dư trước, rồi tính toán trên số dư đó!
Chữ số tận cùng của một số chính là số dư của số đó khi chia cho 10.
Bài toán mẫu: Tìm chữ số tận cùng của $2^{100}$.
Hướng dẫn dắt:
Nhận xét: $2^4 = 16 \equiv 6 \pmod{10}$.
Số $6$ có tính chất đặc biệt: $6$ nhân với $6$ luôn tận cùng là $6$ ($6^k \equiv 6 \pmod{10}$).
Biến đổi: $2^{100} = (2^4)^{25} = 16^{25}$.
Vì $16 \equiv 6 \pmod{10} \implies 16^{25} \equiv 6^{25} \equiv 6 \pmod{10}$.
Kết luận: Chữ số tận cùng của $2^{100}$ là $6$.
Mọi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều được ghép lại từ các số nguyên tố bằng phép nhân:
Đếm số lượng ước số: Nếu $N = p_1^a \cdot p_2^b$, thì số lượng ước số của $N$ là:
(Ví dụ: $12 = 2^2 \cdot 3^1 \implies$ Số ước của $12$ là $(2+1)(1+1) = 6$ ước).
Cho hai số $a$ và $b$:
Công thức tích: $\text{UCLN}(a,b) \times \text{BCNN}(a,b) = a \times b$
Kỹ thuật đặt ẩn phụ (Rất quan trọng cho HSG):
Đặt $d = \text{UCLN}(a,b)$.
Khi đó: $\begin{cases} a = d \cdot x \\ b = d \cdot y \end{cases}$ với $\text{UCLN}(x,y) = 1$ (tức $x, y$ nguyên tố cùng nhau).
Đề bài: Tìm hai số tự nhiên $a$ và $b$ ($a \le b$) biết $\text{UCLN}(a,b) = 6$ và $a + b = 36$.
Lời giải:
Vì $\text{UCLN}(a,b) = 6$, đặt $a = 6x$ và $b = 6y$ với $\text{UCLN}(x,y) = 1$ và $x \le y$.
Theo đề bài: $a + b = 36 \implies 6x + 6y = 36 \implies 6(x + y) = 36 \implies x + y = 6$.
Lập bảng tìm cặp $(x,y)$ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng $6$:
$x = 1, y = 5$ (Thỏa mãn $\text{UCLN}(1,5)=1$) $\implies a = 6, b = 30$.
$x = 2, y = 4$ (Loại vì $\text{UCLN}(2,4) = 2 \neq 1$).
$x = 3, y = 3$ (Loại vì $\text{UCLN}(3,3) = 3 \neq 1$).
Kết luận: Cặp số cần tìm là $(a, b) = (6, 30)$.
(Phần này kế thừa các bài toán biến đổi đại số anh đã làm trước đó, nhưng đưa về dạng ngôn ngữ phù hợp hơn cho bé lớp 6)
Tích 2 số nguyên liên tiếp: $n(n+1)$ luôn chia hết cho $2$.
Tích 3 số nguyên liên tiếp: $(n-1)n(n+1)$ luôn chia hết cho $6$.
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, biểu thức $A = n^3 + 5n$ chia hết cho $6$.
Dẫn dắt tư duy: Số $5n$ đứng một mình khó dùng tích liên tiếp. Ta tách $5n = 6n - n$.
Lời giải:
Xét số hạng $(n-1)n(n+1)$: là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho $6$.
Xét số hạng $6n$: rõ ràng chia hết cho $6$.
Tổng của hai số hạng chia hết cho $6$ nên $A \ \vdots \ 6$ ($\text{Đpcm}$).
Anh có thể in 3 bài tập này cho bé tự làm để kiểm tra độ thấm bài:
Bài 1 (Đồng dư): Tìm chữ số tận cùng của $3^{2026}$. (Gợi ý: Xét $3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10}$).
Bài 2 (UCLN/BCNN): Tìm hai số tự nhiên $a, b$ biết $\text{UCLN}(a,b) = 4$ và $a \cdot b = 48$.
Bài 3 (Tách tổng): Chứng minh $B = n^3 + 11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.