Dưới đây là 3 bài tập thực hành chọn lọc, đại diện cho 3 kỹ thuật cốt lõi đã học: Đếm cấu trúc số (Dùng quy tắc đếm + tập hợp), Vách ngăn Euler mở rộng (Nghiệm $\ge 0$) và Tuyệt chiêu "Ẩn rác" cho bất phương trình.
Đề bài: Từ các chữ số thuộc tập hợp $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đôi một, sao cho số đó là số chẵn và chữ số hàng nghìn phải là số lẻ?
Bài toán này có 2 điều kiện kẹp nhau: Số chẵn (ảnh hưởng đến chữ số tận cùng $d$) và Hàng nghìn lẻ (ảnh hưởng đến chữ số đầu tiên $a$).
Mẹo là hãy ưu tiên xử lý các vị trí có điều kiện "ngặt nghèo" trước.
Ở đây, ta nên chọn chữ số hàng nghìn $a$ trước (vì nó vừa phải lẻ, vừa phải khác 0), sau đó chọn chữ số hàng đơn vị $d$ (để số đó chẵn), rồi mới chọn các vị trí còn lại.
Gọi số cần lập có dạng $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$ và các chữ số khác nhau đôi một.
Bước 1: Chọn chữ số hàng nghìn $a$ (phải là số lẻ)
Trong tập $S$, các chữ số lẻ là $\{1, 3, 5\}$. Do đó, vị trí $a$ có 3 cách chọn.
Bước 2: Chọn chữ số hàng đơn vị $d$ (để số chẵn)
Trong tập $S$, các chữ số chẵn là $\{0, 2, 4, 6\}$. Vì chữ số $a$ được chọn chắc chắn là số lẻ, nên việc chọn $a$ không làm ảnh hưởng hay chiếm mất số nào trong tập số chẵn này.
Do đó, vị trí $d$ có nguyên vẹn 4 cách chọn.
Bước 3: Chọn các chữ số còn lại ($b$ và $c$)
Tập hợp $S$ ban đầu có 7 phần tử. Sau khi đã chọn xong 2 chữ số cho $a$ và $d$:
Chọn $b$: Còn $7 - 2 = \mathbf{5}$ cách chọn.
Chọn $c$: Còn $7 - 3 = \mathbf{4}$ cách chọn.
Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân
Số lượng các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
Đề bài: Có 15 viên kẹo giống nhau chia cho 3 đứa trẻ $A, B, C$. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho đứa trẻ $A$ nhận được ít nhất 1 viên, đứa trẻ $B$ nhận được ít nhất 2 viên, nhưng đứa trẻ $C$ không được nhận quá 5 viên?
Bài toán xuất hiện cụm từ "không quá 5 viên" (tức là $\le 5$). Đây là một giới hạn chặn trên, dùng vách ngăn xuôi sẽ rất khó ép. Hãy hướng dẫn con dùng Tư duy phần bù:
Bước 1: Tính tổng số cách chia thỏa mãn điều kiện tối thiểu của A và B
Phát trước cho $A$ 1 viên, $B$ 2 viên. Số kẹo còn lại là: $15 - 1 - 2 = 12$ viên.
Bây giờ ta chia tự do 12 viên này cho 3 bạn (chấp nhận có bạn 0 viên).
Áp dụng công thức nghiệm $\ge 0$: Số cách là $C_{12 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{14}^2 = \frac{14 \times 13}{2} = 91$ cách.
Bước 2: Tính số cách chia vi phạm (tức là $C$ nhận từ 6 viên trở lên)
Để ép $C$ vi phạm (nhận $\ge 6$ viên), bên cạnh việc phát trước cho $A$ 1 viên, $B$ 2 viên, ta phát luôn cho $C$ 6 viên.
Tổng số kẹo đã phát trước là: $1 + 2 + 6 = 9$ viên.
Số kẹo còn lại trong túi: $15 - 9 = 6$ viên.
Chia tự do 6 viên kẹo còn lại này cho 3 bạn: Số cách là $C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ cách.
Bước 3: Thực hiện phép trừ phần bù
Số cách chia thỏa mãn chính xác yêu cầu của đề bài là:
Đề bài: Tìm số lượng phần tử của tập hợp nghiệm sau:
$$B = \{(x, y, z) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid x + y + z \le 8\}$$
Bài này cấu trúc giống bài hệ thống tuần trước nhưng có một cái "bẫy" nhỏ: các ẩn số $x, y, z$ thuộc tập $\mathbb{N}$ (tức là có thể bằng 0), không phải $\mathbb{N}^*$ (nguyên dương). Do đó khi thêm "ẩn rác" $t$, ta cần chú ý điều kiện biên của tất cả các ẩn.
Bước 1: Thêm ẩn rác để biến bất phương trình thành phương trình
Để đưa dấu $\le 8$ về dấu bằng, ta thêm ẩn số $t \in \mathbb{N}$ ($t \ge 0$). Phương trình trở thành:
Lúc này, cả 4 ẩn $x, y, z, t$ đều là các số tự nhiên $\ge 0$.
Bước 2: Đổi biến để đưa về dạng vách ngăn cơ bản (nghiệm $\ge 1$)
Để đưa về bài toán chia kẹo mà ai cũng có ít nhất 1 viên, ta cộng thêm 1 vào mỗi ẩn:
Đặt $X = x + 1; Y = y + 1; Z = z + 1; T = t + 1$ (với $X, Y, Z, T \ge 1$).
Thay vào phương trình ta có:
$(X - 1) + (Y - 1) + (Z - 1) + (T - 1) = 8$
Bước 3: Chốt hạ bằng công thức vách ngăn
Bài toán quy về chia 12 viên kẹo cho 4 người sao cho ai cũng có ít nhất 1 viên.
Số cách đặt 3 vách ngăn vào 11 khoảng trống là:
Kết luận: Tập hợp $B$ có tất cả 165 phần tử.